Calculer des puissances d'une matrice

Énoncé
Dans cet exercice, on considère la matrice \(A=\begin{pmatrix}4&-4&-3\\1&11&3\\-2&-4&3\end{pmatrix}\) . L'objectif est de trouver une formule générale pour  \(A^k\)  qui permettra de calculer de façon rapide des puissances de  \(A\) .

1. On considère la matrice  \(P=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2& 1&-1\\ -1&1&2\\2&-2&-1 \end{pmatrix}\) .
Vérifier que  \(P\)  est inversible avec  \(P^{-1}=\begin{pmatrix} 1& 1&1\\ 1&0&-1\\0&2&1 \end{pmatrix}\) .

2. Calculer  \(P^{-1}AP\) . Que remarque-t-on ?

3. En déduire une expression générale de  \(A^k\) .

4. Que vaut  \(A^5\)  ?